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Satz des Pythagoras - 2.Version - Referat
Bισgяαƒιє ∂єѕ Pутнαgσяαѕ
Pythagoras - seinerzeit in grandioser Mathematiker- wurde um 570 vor Christus in Spermos auf der
griechischen Insel Samos geboren. Über Pythagoras selbst weiß man nicht viel, denn aus seiner
Zeit existieren keine Dokumente. Seine Mutter Pythais , eine Eingeborene aus Samos, lernte seinen Vater Mnesarchus ein Großhändler aus Griechenland kennen,
als auf Samos eine Hungersnot herrschte. Mnesarchus brachte Korn nach Samos, und aus Dankbarkeit dafür wurde er zum Ehrenbürger ernannt.
Pythagoras verbrachte seine Kindheit mit seinen zwei Brüdern auf Samos, reiste aber auch mit
seinem Vater. Er war ein gut erzogenes Kind und lernte Dichtkunst, die Leier zu spielen und
beherrschte Homer's Werke. Seine Lehrer waren allesamt Philosophen, die sein junges Leben
maßgeblich beeinflussten. Als Pythagoras' wichtigster Lehrer gilt Pherekydes , der von Experten als
der Lehrer Pythgoras' bezeichnet wird. Diese drei Philosophen waren es auch, die ihm die Welt der
Mathematik öffneten.
Als Erwachsener ging er auf Reisen und besuchte vermutlich Phönizien, Ägypten, Babylon und
Persien. In Ägypten soll er angeblich in den Kreis der Priester aufgenommen worden sein und sich
Geheimwissen angeeignet haben. Bei seinem Besuch in Persien studierte er die dort bekannte
Mathematik und Religion. Danach kehrte er nach Samos zurück, wo zu dieser Zeit der Tyrann
und Seeräuber Polykrates (538 - 522 v. Chr.) herrschte. Aus diesem Grund wanderte Pythagoras um 530 v. Chr. nach Kroton in Unteritalien - dem damaligen Großgriechenland - aus.
Dort gründete er die Bruderschaft der Pythagoreer, die sich mit religiösen, wissenschaftlichen,
politischen und sittlichen Zielen beschäftigte.
Über Pythagoras' Arbeit in diesem Orden ist heute nicht viel bekannt, man weiß nur, dass dieser
Orden sich ausschließlich mit Mathematik befasste. Das wohl bekannteste Werk von Pythagoras ist
der "Satz des Pythagoras".
Pythagoras starb ca. 475 vor Christus .
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Eηтѕтєнυηg ∂єѕ Sαтzєѕ
Über die Entstehung des Satzes von Pythagoras gibt es keine definitiven Erkenntnisse.
Man ist sich aber ziemlich sicher, dass Pythagoras nicht der erste war, der diesen Zusammenhang herausfand.
Der Lehrsatz wurde schon in anderen Hochkulturen benutzt, so zum Beispiel bei den Ägyptern
zu Zeiten des Königs Amenemat I. (ca. um 2300 v. Chr.). Es gab so genannte Seilspanner, die die
Aufgabe hatten, rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 zu konstruieren.
Also bedienten sie sich eines 12 Längeneinheiten langen Seiles , in das sie nach jeder
Längeneinheit einen Knoten machten. Dieses Seil wurde an den Enden zusammengeknüpft.
Die Seilspanner wussten nun, dass wenn sie das Seil an dem vierten und an dem achten Knoten
festhalten und spannen, ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Sie gingen also zunächst von einer
Umkehrung des Satzes aus:
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
Und daraus folgerten sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
Das ist eine Version zur Entstehung des Satz des Pythagoras.
Es gibt eine zweite Version, nach jener es die Babylonier waren, die den Zusammenhang
entdeckten. 1800 vor Christus soll eine Tontafel mit folgender Figur entstanden sein:
Die Babylonier mussten also für den Spezialfall des gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks
einen Beweis für den Satz des Pythagoras gekannt haben.
Zu dem Thema "Satz des Pythagoras" gibt es viele Entdeckungen aus alten Kulturen, auch die
indische Kultur benutzt diesen Lehrsatz seit langer Zeit. In Griechenland fand man eine beschriftete
sowie bemalte Tafel, die ebenfalls eine Konstruktion ähnlich jener der Ägypter zeigte, nur mit einer
anderen Beweisführung. Man kennt die Herkunft des Zusammenhanges nicht genau, und dennoch
hat Euklid die Entdeckung Pythagoras zugeschrieben.
-2-
Dєя Sαтz ∂єѕ Pутнαgσяαѕ
Kommen wir nun zu dem wohl bekanntesten Lehrsatz der Mathematik, dem Satz des Pythagoras .
Ich stelle ihn hier mal in zwei Formen vor, der sprachlichen Formulierung und der Formel:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat Kc der Hypotenuse c gleich der Summe der
Kathetenquadrate Ka und Kb der Katheten a und b. Die Hypotenuse ist die längste Seite des
Dreiecks und liegt gegenüber dem rechten Winkel:
Und hier die Formel:
a² + b² = c²
Nun führe ich hier einen von über 400 existierenden verschiedenen Beweistechniken für den Satz
des Pythagoras an:
Wir konstruieren ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b:
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Unter der Hypotenuse konstruieren wir die Fläche c²:
Um c² herum konstruieren wir weitere drei zum ersten Dreieck kongruente Dreiecke:
Wir haben nun eine Fläche, die wir zweierlei bezeichnen können:
Fq = (a + b)²
Fq = c² + 4 * ½ * a * b
Der erste Ausdruck gilt, da die Summe der Längen zum Quadrat die Fläche des Quadrates be-
zeichnet.Wir können aber ebenfalls die einzelnen Flächen addieren, also die Fläche des Quad-
rates und die Flächen der vier Dreiecke, für das für ein Dreieck gilt: ½ * Grundseite (b) * Höhe (a).
Wir dürfen also die beiden Ausdrücke gleichsetzen und vereinfachen:
(a + b)² = c² + 4 * ½ * a * b
nach der Binomischen-Formel:
a² + 2*a*b + b² = c² + 2*a*b
Auf beiden Seiten 2*a*b subtrahieren:
a² + b² = c²
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Eιηє Aηωєη∂υηg αυѕ ∂єм Aℓℓтαg
Man kennt das ja, oftmals denkt man sich beim Lernen bestimmter Dinge:
"Wozu brauche ich das eigentlich, wozu lerne ich das?"
Gerade bei der Mathematik sieht man oft in verzweifelte Gesichter.
Natürlich kommt es vor, dass man bestimmte Dinge wirklich nicht benötigt,
aber hier ist einmal eine Anwendung des Satz des Pythagoras aus dem Alltag.
Zum Beispiel bei :
Bei der Landvermessung → Zusammenlegung von Nutzflächen.
In der Landwirtschaft, bei der Mengenberechnung für die grösse der benötigten Landfläche zum Anbau von Nutzpflanzen pro Kopf.
Forstwirtschaft im Grunde genommen derselbe Grund wie bei der Landwirtschaft.
Strasse und Verkehr → Abstandsmessung, Geschwindigkeitsmessung bei Radarkontrollen.
Bei der berechnung von Flächen beim Malen und Lackieren von Hauswänden, Tapezieren und so weiter...
Man könnte den Satz des Pythagoras im Alltag als ziemlich nützlich befinden und zwar wenn man
ein Stahlseil zwischen 2 Lichtmasten befestigen will und die Länge des Seil mindestens haben sollte.
Die zwei Lichtmaste sind 8 m voneinander entfernt aufgestellt , in 6 m Höhe soll mit einem
Stahlseil eine Lampe befestigt werden . Für die Rechnung kann man annehmen,
dass das Seil fast gerade gespannt ist.
a) Wie lang muss das Seil sein, damit sich die Lampe 1,7 m
unterhalb der seitlichen Aufhängung befindet?
Lösung : Die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks ergibt sich als Wurzel aus 42 + 1,72.
Die Länge des Seiles ist doppelt so lang und beträgt 8,69 m.
b) Wie weit über dem Boden kann die Lampe angebracht werden, wenn das Seil 8,5 m lang ist?
Lösung : Die Höhe (Kathete) des rechtwinkeligen Dreiecks ergibt sich als Wurzel
aus 4,252 - 42 und ist ungefähr 1,44 m.
Der Abstand vom Erdboden beträgt deshalb 4,56 m.
Qυєℓℓє
Internet :
http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/geometrie/pyth/material
http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/nett/ptol/pyth
http://mathematica.ludibunda.ch/pythagoras-de5.html
www.satzdespythagoras.de
Meiste Information aus dem Internet benützt ,
da Umformulierung bzw . Eigenes Wissen nicht zu trifft.
Bücher :
1 ) Duden Mathematik Basiswissen Schule
2 ) Schnittpunkt 5 Mathematik Schulbuch
3 ) Mathematik Wissen Ok! ( G8 ) 9./10. Schuljahr
4 ) Mathematik Geomatrie 1 Mentor – Lern Hilfe
5 ) Schüler Duden Mathematik I
6 ) Mathematik Grundwissen Alles auf einen Blick ! Mentor
7 ) Mathematik im Alltag Von Thomas Benesch
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