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Rentenrechnung - Referat



Rentenrechnung
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Die jährliche, konstante Rentenzahlung
Als Rente bezeichnet man einen konstanten Betrag, der einem Anfangskapital zu bestimmten Zeiten entnommen wird. Dabei wird in diesem Fall davon ausgegangen, dass die Rentenzahlung einmal im Jahr, entweder am Anfang (vorschüssig) oder am Ende (nachschüssig) gezahlt wird. Der verbleibende Betrag, der nach Rentenzahlung jeweils noch vom Grundkapital übrigbleibt wird bis zur letzten Auszahlung weiter verzinst. Zu Berechnen ist nun das Restkapital kn, welches nach n-Jahren noch vorhanden ist. Würde keine Rentenzahlung vorgenommen werden und das Anfangskapital k mit einem Aufzinsungsfaktor q verzinst werden, könnte man die Zinsformel anwenden.

Kn=k*qn

Von dem erhaltenen Betrag müsste nun noch die Rentenzahlung und die Zinsen, die zuviel gezahlt wurden abgezogen werden.

Kn=k*qn-Rn

Es muß also die Summe der Rentenzahlungen abgezogen werden, zuzüglich den Zinsen, die bei einer Verzinsung der Rentenzahlungen mit q enstanden wären.

Bei vorschüssiger Rentenzahlung ergibt sich folgendes Rn:

Rn=r*q*(qn-1)/(q-1) (r=jährliche Rente)

Bei nachschüssiger Rentenzahlung ergibt sich folgendes Rn:

Rn=r*(qn-1)/(q-1) (r=jährliche Rente)

Rentenzahlung bei jährlicher Rente
k=Ausgangskapital

kn=Restkapital nach n Jahren
r=jährliche Rente
q=Verzinsung des Restkapital
Rn=Summe der Rentenzahlungen nach n-Jahren bei einer Verzinsung mit q



Kn=k*qn-Rn
vorschüssige Zahlung: Rn=r*q*(qn-1)/(q-1)
nachschüssige Zahlung: Rn=r*(qn-1)/(q-1)


Die unterjährige, jährlich verzinste Rentenzahlung
Bei einer unterjährigen, in der Regel monatlichen Rentenzahlung bleibt die Grundformel für die Berechnung des Restguthabens nach n-Jahren gleich. Sie lautet Kn=k*qn-Rn.

Verändern tut sich in diesem Fall die Berechung von Rn. Hier ist auch wieder der Betrag der ausgezahlten Rentenbeiträge zuzüglich den Zinsen, die entstanden wären zu berechnen, da dieser Wert dann von dem ersten Summanden in der Formel abgezogen werden muß, da dieser die Restsumme darstellt, wenn nichts ausgezahlt werden würde und der Betrag mit q verzinst werde würde.

Man kann sich also Rn wie ein Konto vorstellen, das mit q verzinst wird und auf welches regelmäßig ein fester Betrag eingezahlt wird. Aus diesem Grund kann hier die Zinsformel für unterjährige Einzahlungen verwendet werden.
è Rn=R1*(qn-1)/(q-1)

Für R1 ergeben sich wieder zwei Formeln, je nachdem, ob der Betrag vorschüssig (1. des Monats) oder nachschüssig (letzter Tag des Monats) ausgezahlt wurde.
Vorschüssig
è k1=r*[m+(m+1)/2 * p/100]
Nachschüssig
è k1=r*[m+(m-1)/2 * p/100]
Rentenzahlung bei unterjähriger Rente
k=Ausgangskapital

kn=Restkapital nach n Jahren
r=Rente pro Zahlung

m=Anzahl der Zahlungen pro Jahr
q=Verzinsung des Restkapital
Rn=Summe der Rentenzahlungen nach n-Jahren bei einer Verzinsung mit q

Kn=k*qn-Rn
Rn=R1*(qn-1)/(q-1)

vorschüssige Zahlung: k1=r*[m+(m+1)/2 * p/100]
nachschüssige Zahlung: k1=r*[m+(m-1)/2 * p/100]

Um zu Berechnen, wie lange die Rentenzahlung möglich ist, setzt man Kn gleich 0, da in diesem Falle kein Restkapital mehr vorhanden ist. Die Formel wird dann nach n umgestellt.

Folgende Formel würde man durch Umstellung erhalten:

-Ln[-(K/R1)*(q-1)+1]


Dieses Referat wurde eingesandt vom User: Melina




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