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Möndchen des Hypokrates - Referat



Möndchen des Hypokrates

Die Behauptung ist, dass die beiden Möndchen über den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen den gleichen Flächeninhalt haben wie das rechtwinklige Dreieck (A rechtw. Dreieck = A Möndchen).
Der erste Schritt um diese These zu prüfen war, dass ich alle Strecken und Flächen benannt habe (s. Skizze).
Dann habe ich mit den Variablen a und b den Flächeninhalt des Dreiecks ausgerechnet. Ich habe die Seite a als Grundseite gewählt, damit ich b als Höhe nehmen kann und so keine zusätzliche Variable habe. Da b die Höhe des Dreiecks ist, lässt sich der Flächeninhalt berechnen:
A (Dreieck) = (g · h) = (a · b)
2 2
Die Katheten a und b des Dreiecks sind aber gleichzeitig auch die Durchmesser des großen und des kleinen Halbkreises. Die Hypotenuse c ist gleichzeitig der Durchmesser des Thaleskreises (s. Skizze).
Wenn jetzt der Flächeninhalt der beiden Möndchen der gleiche ist wie der des Dreiecks, ist die These bewiesen.

Zur Flächenberechnung der beiden Möndchen:

Der Flächeninhalt der Möndchen lässt sich berechnen, indem man vom Flächeninhalt der beiden Halbkreise zusammen die Flächen der beiden Thaleskreisabschnitte (F + f) subtrahiert.
Also habe ich erst mal die Flächeninhalte der beiden Halbkreise ausgerechnet:

A (gr. Halbkreis) = p · (a/2)² A (kl. Halbkreis) = p · (b/2)²
2 2
Die Fläche der Thaleskreisabschnitte (F + f) berechne ich so, dass ich den Flächeninhalt des Dreiecks vom Flächeninhalt des Thaleskreises subtrahiere.

A (Thaleskreis) = p · r² = p · (c/2)²
2 2

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich die Variable c ausdrücken als:

c = Ö(a² + b²)

So ergibt sich für den Flächeninhalt des Thaleskreises:

A (Thaleskreis) = p · (Ö(a² + b²)/2)²
2

A (F+f) = p · (Ö(a² + b²)/2)² - a · b = p · (a² + b²)/4 - a · b
2 2 2 2


Da ich jetzt das Ergebnis vom Flächeninhalt beider Thaleskreisabschnitte habe, kann ich jetzt auch den Flächeninhalt beider Möndchen berechnen, indem ich von der Summe der Flächeninhalte beider Halbkreise beide Thaleskreisabschnitt (F + f) subtrahiere. Also:
(A gr. Halbkreis + A kl. Halbkreis) – (F + f) =

p · (a/2)² + p · (b/2)² - p · (a² + b²) /4 - a · b
2 2 2 2

Diese Aufgabe wird folgendermaßen aufgelöst:

= p · a²/4 + p · b²/4 - p · a²/4 - p · b²/4 + (a · b) =
2 2
= (a · b)
2

Dann vergleicht man die beiden Flächeninhalte:

A (Dreieck) = (a · b) A (Möndchen) = (a · b)
2 2


Man sieht, dass diese beiden Fächeninhalte gleich groß sind. Also ist es bewiesen, dass beide Möndchen zusammen genauso groß sind wie das rechtwinklige Dreieck!

Dieses Referat wurde eingesandt vom User: Sweety000




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