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Hüllkurven - Referat



Carina Deinhart
Leistungskurs M12
2007-07-05
Referat im Leistungskurs Mathematik

HÜLLKURVEN


I. Definition Hüllkurve


Zeichnet man die Grafen einer Kurvenschar ga(x) in ein Koordinatensystem so erkennt man eine Kurve, die jenen Teil der Ebene begrenzt, der von ga(x) umstrichen wird. Die neu entstandene Kurve heißt Hüllkurve.

Alle Kurven von ga(x) berühren H in einem Punkt. Die Hüllkurve entsteht durch die Verdichtung der gemeinsamen Punkte benachbarter Kurven. Es gibt also keine Hüllkurve, wenn sich die Kurven einer Kurvenschar nicht schneiden.



II. Berechnung einer Hüllkurve


Kurvenschar: ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

Zur Ordinatenbestimmung stellen wir uns an eine Stelle x der x-Achse und betrachten alle Punkte, die direkt über oder unter uns liegen.



Diese Punkte haben alle die Abszisse x, ihre Ordinaten hängen aber vom Parameter a der Kurve ab. Demnach besitzen diese Punkte Pa alle die Koordinate:

Pa ( x ; 1/a ∙ e – ½ x² + ax )
Durch
hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

wird somit der Bereich beschrieben, in dem die Ordinaten der Punkte Pa liegen.

Wir suchen nun die Werte für a für die hx(a) Extrempunkte besitzen.

0 = hx’(a)

0 = (- 1/a² + x/a) e – ½ x² + ax

0 = (- 1/a² + x/a)

a = 1/x

Ordinatenbestimmung:
hx(1/x) = x ∙ e – ½ x² + 1

Um nun die gesamte Wertemenge der Funktion hx(a) zu bestimmen, müssen wir einige Grenzwerte berechnen:

Fallunterscheidung:
x > 0

à Minima im Bereich a > 0
lim hx(a) = +∞
a→0
Erster Teil der Wertemenge: [ x e – ½ x² +1 ; +∞[

a < 0 à hx‘(a) < 0
lim hx(a) = lim 1/a &#8729; e – ½ x² +1 = 0
a&#8594;-&#8734; a&#8594; -&#8734;
Zweiter Teil der Wertemenge: ]- &#8734; ; 0[

&#61672; Wertemenge für positive Parameter x

Whx = ] -&#8734; ; 0[ U [x e – ½ x² +1 ; +&#8734;[


x < 0

à Maxima im Bereich a < 0
lim hx(a) = - &#8734;
a&#8594;0
Erster Teil der Wertemenge: ]-&#8734; ; x e – ½ x² +1]

a > 0
lim hx(a) = +&#8734;
a&#8594;0
lim hx(a) = 0
a&#8594;+&#8734;
Zweiter Teil der Wertemenge: ]0; + &#8734;[

&#61672; Wertemenge für negative Parameter x:

Whx = ]-&#8734; ; x e – ½ x² +1] U ]0; + &#8734;[

&#61672; Die Hüllkurve besteht aus der x-Achse und der Kurve y = x e – ½ x² +1










Quellen: Anschauliche Analysis 2, Leistungskurs, Ehrenwirth Verlag
www.mathematik.de





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